場合の数の解き方｜和の法則・積の法則と数え漏れ防止

場合の数の問題は何を聞いている？

場合の数の問題は、「全部で何通りあるか」を数える問題です。道順、カードの並べ方、サイコロの目の出方、代表の選び方など題材はさまざまですが、やることはもれなく、重複なく数えることだけです。

計算自体は足し算とかけ算がほとんどです。難しさは、どの場面で足し、どの場面でかけるかの判断と、同じものを2回数えていないかの確認にあります。この記事では、その判断のしかたと書き出し方を整理します。

並べ方と選び方の公式（nPr・nCr）は順列と組合せの使い分け、道順は最短経路の数え方、確率への応用は確率の基本で扱っています。

和の法則と積の法則はどう使い分ける？

迷ったときは「1つ目の選び方それぞれに対して、2つ目の選び方が全部そろっているか」を考えます。そろっていればかけ算、別々のルートのどちらかなら足し算です。

和の法則を使うときは、2つの場合が同時に起きない（重なりがない）ことを確かめます。重なりがある場合は、ベン図のように重なった分を引く必要があります。

数え漏れを防ぐ書き出し方の手順

1. 何を1通りと数えるかを決める：並び順を区別するのか（AB と BA は別か）、同じものを含むかを確認する。
2. 条件の強い位置・人から決める：先頭に0は置けない、末尾は偶数など、選べる数が少ない位置を最初に数える。
3. 樹形図か表で書き出す：選ぶものが3段階以上なら樹形図、2つの組合せなら表が向く。
4. 規則が見えたら計算に切り替える：枝の数が毎回同じになると分かったら、残りはかけ算で出す。

たとえば A・B・C の3人の並び方を樹形図で書くと、先頭が A の枝から ABC・ACB、B の枝から BAC・BCA、C の枝から CAB・CBA の6通りです。先頭3通り×2番目2通り×最後1通り＝6 と、かけ算でも同じになります。

例題1：足すかかけるかを判断する

例題1 A町からB町へ行く道が3本、B町からC町へ行く道が4本ある。また、A町からC町へB町を通らずに行く道が2本ある。A町からC町へ行く方法は何通りか。ただし、同じ町を2度通らないものとする。

1. 9通り　2. 12通り　3. 14通り　4. 24通り

解き方 B町を通るルートは「A→Bを選び、続けてB→Cを選ぶ」ので 3×4＝12通り。直接行くルートは2通り。この2つは同時には起きないので足して、12＋2＝14通りです。

正解は3です。ルートを「B町経由」「直接」に分けてから、それぞれの中で積の法則を使う、という順番で考えると迷いません。

例題2：先頭に0を置けない整数を数える

例題2 0・1・2・3 の4枚のカードから3枚を選んで並べ、3けたの整数を作る。作れる整数は何通りか。

1. 6通り　2. 18通り　3. 24通り　4. 27通り

解き方 条件の強い百の位から数えます。百の位は0以外の3通り。十の位は、残り3枚（0を含む）から3通り。一の位は残り2枚から2通り。3×3×2＝18通りです。

正解は2です。全体の24通りから、先頭が0の6通り（残り3枚から2枚を並べる3×2）を引いても18通りになります。条件の強い位置から数える方法と、全体から除く方法のどちらでも解けるので、片方で解いたらもう片方で検算できます。

例題3：表で数えて「または」を足す

例題3 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が5の倍数になるのは何通りか。

1. 7通り　2. 4通り　3. 12通り　4. 3通り

解き方 目の和は2〜12なので、5の倍数になるのは和が5か10のときです。大きいサイコロの目ごとに表で数えます。

和が5と和が10は同時には起きないので足して、4＋3＝7通り。正解は1です。2は和が5の場合だけ、4は和が10の場合だけを数えた値です。3は「和が5」と「和が10」の個数をかけた値で、「または」を積の法則で処理してしまっています。

大小2つのサイコロは区別するので、(大1, 小4) と (大4, 小1) は別の1通りとして数えます。

重複して数えていないかはどう確かめる？

積の法則でかけ算をすると、同じ組を順番違いで2回数えることがあります。A〜Dの4人から2人を選ぶ場面で比べてみます。

区別しない場合は、区別して数えた12通りの中に、同じ組が「AB・BA」のように2回ずつ入っています。そのため2で割ります。書き出して確かめると、AB・AC・AD・BC・BD・CD の6通りです。

役割や順番に意味があるかを問題文で確かめ、意味がなければ割る、と覚えておくと、答えが2倍（3人なら6倍）になる失敗を防げます。この判断は順列と組合せの使い分けの中心でもあります。

つまずいた操作から確認する

1分で解くための時短のコツ

• 「全体−条件に合わないもの」を使う：例題2のように、除く側の方が数えやすいときは引き算が速いです。
• 樹形図は1本の枝だけ書く：枝ごとの数が同じと分かれば、1本数えてかけ算に切り替えます。
• 選択肢の数を見てから数え始める：選択肢の差が大きければ、細かい書き出しをせずに概算で絞れることもあります。

次に練習すること

並べる・選ぶを公式で速く数えるには順列と組合せの使い分け、碁盤の目の道順は最短経路の数え方へ進んでください。場合の数を確率に使う問題は確率の基本、試合の組合せの数はリーグ戦の勝敗表の書き方で確認できます。

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