KEY TAKEAWAYS
この記事でわかること
- 確率の基本は 確率＝当てはまる場合の数÷起こりうるすべての場合の数。ただし、数える1つ1つが同じ起こりやすさ（同様に確からしい）であることが条件です。
- くじを戻さずに続けて引くときは、1本引くごとに全体も当たりも減るので、分母が1ずつ減る分数を順番にかけます。
- 「男→女」と「女→男」のように、順番の違う起こり方が複数あるときは、それぞれの確率を足します。
- サイコロ2つは、同じ目の組でも大小を区別して36通りで数えます。組で数えると起こりやすさがそろいません。
この記事の目次
和が8になる確率 ＝ 5マス ÷ 36マス ＝ 5/36
大小のサイコロを区別した36通り。色の付いた5マスは、和が8になる組です。
確率の問題は何を聞いている？
確率は、ある出来事がどのくらいの割合で起こるかを、0から1の数で表したものです。公務員試験の数的推理では、サイコロ、くじ引き、カード、代表者の選び方などを題材に、分数で答える形が中心です。
計算の土台は場合の数です。「全体で何通り」「当てはまるのは何通り」が数えられれば、あとは割り算をするだけです。逆に言えば、確率の失点の多くは数え方の誤りから生まれます。
この記事では、確率の定義と、くじを戻さずに引く問題を「順番にかける」方法で解く手順を整理します。「少なくとも1回」の問題は余事象で解く方法で扱っています。
確率を求める2つの方法
| 方法 | 式 | 向いている場面 |
|---|---|---|
| 数えて割る | 当てはまる数÷全体の数 | サイコロ・カードなど、全体を数えやすい場合。組合せ（nCr）で数えられる場合 |
| 順番にかける | 1回目の確率×（1回目のあとの）2回目の確率×… | くじを続けて引く場合。戻すか戻さないかで分母が変わる場合 |
2つの方法は同じ答えになります。どちらか一方で解いて、時間があればもう一方で検算すると、数え間違いを防げます。目安として、1回で結果が出る試行（サイコロを1度投げる、カードを1度に引く）は数えて割る方法、何回かに分けて順に起こる試行（くじを1本ずつ引く）は順番にかける方法から試すと、式が短くなります。
「同様に確からしい」とはどういうこと？
「当てはまる数÷全体の数」が使えるのは、数えている1つ1つの場合が同じ起こりやすさのときだけです。これを「同様に確からしい」といいます。
大小2つのサイコロを投げると、目の出方は 6×6＝36通りで、どれも同じ起こりやすさです。ところが「目の組」で数えて、{1, 2} と {1, 1} を1通りずつにすると、{1, 2} は (大1, 小2) と (大2, 小1) の2通りから起こるのに、{1, 1} は1通りからしか起こりません。起こりやすさの違うものを1通りずつ数えると、確率を誤ります。
迷ったら、サイコロやカード、人をすべて区別して数えます。区別して数えれば、1つ1つの起こりやすさは必ずそろいます。
例題1：サイコロ2つの確率を数える
例題1 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が8になる確率はいくらか。
1. 1/12 2. 5/36 3. 1/7 4. 1/6
解き方 全体は 6×6＝36通り。和が8になるのは (大, 小)＝(2, 6)・(3, 5)・(4, 4)・(5, 3)・(6, 2) の5通りです。確率は 5/36 です。
| 選択肢 | 判定 | どこから出る数か |
|---|---|---|
| 1. 1/12 | × | 3/36。分子を目の組 {2,6}・{3,5}・{4,4} の3通りで数えた値 |
| 2. 5/36 | ○ | 区別して数えた5通り÷36通り |
| 3. 1/7 | × | 3/21。分母も分子も目の組で数えた値（起こりやすさがそろっていない） |
| 4. 1/6 | × | 6/36。和が7になる確率 |
正解は2です。1と3は、どちらも「目の組」で数えたことによる誤りです。区別して数える習慣があれば、迷わず36通りを分母にできます。
戻さないくじを解く手順
- 1回目の確率を書く：全体の本数を分母、当てはまる本数を分子にする。
- 1回目の結果を反映して2回目の確率を書く：戻さないなら、分母は1減る。当たりを引いた後なら、当たりの本数も1減る。
- 順番にかける：「1回目にA、続けて2回目にB」は、1回目の確率×2回目の確率。
- 順番の違う起こり方があれば足す：「1本だけ当たる」なら、「当たり→外れ」と「外れ→当たり」の確率を足す。
戻す場合は、2回目も1回目と同じ状態に戻るので、分母も分子も変わりません。「戻すか・戻さないか」を最初に確かめるのが、この型の最重要ポイントです。
例題2：戻さないくじで2本とも当たる確率
例題2 10本のうち3本が当たりのくじがある。1本引き、それを戻さずにもう1本引く。2本とも当たりである確率はいくらか。
1. 9/100 2. 3/5 3. 1/15 4. 7/15
解き方 1回目に当たる確率は 3/10。1回目に当たりを引いた後は、残り9本のうち当たりは2本なので、2回目に当たる確率は 2/9。順番にかけて、3/10×2/9＝6/90＝1/15 です。
| 選択肢 | 判定 | どこから出る数か |
|---|---|---|
| 1. 9/100 | × | 3/10×3/10。引いたくじを戻す場合の値 |
| 2. 3/5 | × | 3/10＋3/10。「続けて」を足してしまった値 |
| 3. 1/15 | ○ | 3/10×2/9 |
| 4. 7/15 | × | ちょうど1本だけ当たる確率（3/10×7/9＋7/10×3/9） |
正解は3です。組合せで数えても、当たり3本から2本を選ぶ 3C2＝3通り÷10本から2本を選ぶ 10C2＝45通り＝1/15 と、同じ答えになります。
例題3：順番が2通りある場合は足す
例題3 男性4人、女性3人の中から、くじで2人を選ぶ。男性と女性が1人ずつ選ばれる確率はいくらか。
1. 4/7 2. 2/7 3. 24/49 4. 1/7
解き方 1人目・2人目と順に選ぶと考えます。「男→女」は 4/7×3/6＝2/7、「女→男」は 3/7×4/6＝2/7。どちらも「男女1人ずつ」なので足して、2/7＋2/7＝4/7 です。
| 選択肢 | 判定 | どこから出る数か |
|---|---|---|
| 1. 4/7 | ○ | 男→女 と 女→男 の和（組合せなら 4×3÷7C2＝12/21） |
| 2. 2/7 | × | 「男→女」の順番だけを数えた値 |
| 3. 24/49 | × | 4/7×3/7×2。1人目を戻して選び直すとした値 |
| 4. 1/7 | × | 2人とも女性になる確率（3/7×2/6） |
正解は1です。順番にかける方法では、同じ結果になる順番をすべて書き出して足すことを忘れがちです。組合せで数えると順番を考えずに済むので、検算に向いています。
つまずいた操作から確認する
| つまずき | 確認する操作 |
|---|---|
| サイコロ・カードの問題で答えがずれる | すべて区別して数え、分母が36など「区別した全体」になっているか確かめる |
| くじの問題で分母を変え忘れる | 「戻さない」の語に印をつけ、2回目の分母を1減らす |
| 「1本だけ」「1人ずつ」で答えが半分になる | 順番の違う起こり方（当→外、外→当）をすべて書いて足す |
| 「少なくとも」で場合分けが多くなる | 1から「1回も起きない確率」を引く方法に切り替える |
1分で解くための時短のコツ
- 約分はかける前に：3/10×2/9 は、3と9、2と10を先に約分すると 1/5×1/3＝1/15 とすぐ出ます。
- 選択肢の分母を見る：例題2で分母100の選択肢は「戻す場合」、例題3で分母49の選択肢は「戻して選び直す場合」を狙った選択肢です。分母から、どんな誤りを想定しているかが分かります。
- 確率の合計は1：「当たりの確率＋外れの確率＝1」を使うと、片方から他方をすぐ出せます。
次に練習すること
「少なくとも1回当たる」「3回のうち1回以上」のような問題は、余事象で速く解く方法で練習できます。分母・分子の数え方に不安がある場合は順列と組合せの使い分け、道順を使う問題は最短経路の数え方へ。
2つの方法を覚えたら、登録不要の無料お試し10問で、本番と同じ1問1分のペースで解けるかを試してみてください。
Q & A
よくある質問
Q.くじを同時に2本引く場合は、戻さない場合と同じですか？＋
同じです。同時に引いても、1本ずつ戻さずに引いても、2本の組合せの起こりやすさは変わりません。順番にかける方法でも、組合せで数える方法でも同じ答えになります。
Q.後から引く人の方が不利になりませんか？＋
なりません。例題2のくじで、2番目に引く人が当たる確率は 3/10×2/9＋7/10×3/9＝27/90＝3/10 で、1番目の人と同じです。引く順番によって当たりやすさは変わりません。
Q.確率の答えは分数と小数のどちらで書きますか？＋
選択肢の形に合わせます。選択肢が分数なら、自分の答えを既約分数（それ以上約分できない分数）に直してから見比べると、見落としがなくなります。
Q.サイコロを3つ投げる問題では、全体は何通りですか？＋
3つとも区別して 6×6×6＝216通りです。「3つとも同じ目」は6通りなので確率は 6/216＝1/36、というように、2つのときと同じく区別して数えるのが基本です。