判断推理のリーグ戦の解き方｜勝敗表の書き方と試合数

リーグ戦の問題は何を聞いている？

リーグ戦（総当たり戦）は、参加チームがほかのすべてのチームと1回ずつ対戦する方式です。問題は、試合数を求める計算型と、「Aは3勝1敗」「BはCに負けた」などの条件から勝敗を決める判断推理型に分かれます。

判断推理型では、勝敗表を使います。行と列に同じチームを並べた表で、「Aの行のBの列」にAのBに対する結果を書きます。1試合の結果は、Aから見れば○、Bから見れば×なので、表の2か所に同時に書き込むのがポイントです。

勝ち抜き戦の場合はトーナメント戦の解き方、組合せの数の考え方は場合の数の基本で扱っています。

リーグ戦を解く4ステップ

1. 勝敗表を書く：行と列にチームを並べ、左上から右下への斜めのマス（自分どうし）に斜線を引く。右に「勝ち数」の列を作る。
2. 直接の結果を書く：「BはAに勝った」なら、B行A列に○、A行B列に×。必ず2マス同時に書く。
3. 勝ち数の条件で埋める：「Aは3勝1敗」でAの負けが1つ分かっていれば、残りはすべて○。行の○の数が勝ち数に届いたら、残りは×。
4. 合計で検算し、残りを場合分けする：勝ち数の合計が試合数と一致するかを確かめ、決まらないマスは2通りに分けて選択肢を確かめる。

n(n−1)÷2 の ÷2 は、「AがBと対戦」と「BがAと対戦」が同じ1試合だからです。勝敗表でいえば、斜線の上側の三角形のマスの数が試合数にあたります。

例題1：総当たりの試合数を求める

例題1 7チームが総当たり戦を行う。どの2チームも1回ずつ対戦するとき、試合数はいくつか。

1. 6試合　2. 28試合　3. 21試合　4. 42試合

解き方 7チームから2チームを選ぶ組合せの数なので、7×6÷2＝21試合です。

正解は3です。「1チームは6試合する。7チームあるから7×6」と考えると42になり、同じ試合を両チームの側から2回数えてしまいます。

例題2：勝敗表と勝ち数の合計で解く

例題2 A〜Eの5チームが総当たり戦を1回ずつ行った。引き分けはない。次のことが分かっているとき、確実にいえるものはどれか。

・Aは3勝1敗だった。／・BはAに勝ち、Cに負けた。／・Cは2勝2敗だった。／・Dは1勝3敗で、Eに勝った。

1. Eは全敗した　2. Bは2勝2敗だった　3. EはBに勝った　4. CはDに勝った

整理 Aの1敗はBなので、AはC・D・Eに勝っています。Dの1勝はEなので、DはA・B・Cに負けています。Cは2勝で、Aに負け、Bに勝ち、Dに勝っているので、これで2勝に届き、Eには負けています。残るのは B対E の1試合だけです。

CはDに勝っているので、正解は4です。1は、EはCに勝っているので×。2と3は、B対Eの結果しだいで変わるので確実にはいえません。

検算：勝ち数の合計は 3＋(2か3)＋2＋1＋(2か1)＝10 で、5チームの試合数10と一致します。条件から B と E の勝ち数の合計が 10−3−2−1＝4 と分かるので、Bが3勝ならEは1勝、Bが2勝ならEは2勝です。

順位や勝ち点を聞かれたらどうする？

• 順位は勝ち数で並べる：「勝ち数の多い順に順位をつけ、同じなら同順位」のように、問題文の決め方に従います。例題2では Aが1位ですが、Bが3勝ならAとBが同じ勝ち数になり、同順位の扱いが問題文しだいになります。
• 勝ち点制は点数に直してから合計する：「勝ち3点・引き分け1点」などの場合、1試合で配られる点の合計が勝敗と引き分けで違う（3点と2点）ので、合計点から引き分けの試合数を逆算できます。
• 「全勝」「全敗」は1チームまで：引き分けがなければ、全勝のチームは最大1チームです（全勝どうしは対戦できない）。

練習問題：勝ち点の合計から引き分けを数える

練習1 A〜Dの4チームが総当たり戦を1回ずつ行った。勝ちは3点、引き分けは1点、負けは0点とする。全チームの勝ち点の合計が16点だったとき、引き分けの試合は何試合あったか。

答え 2試合。試合数は 4×3÷2＝6試合です。勝敗のついた試合は1試合で3点（勝った側に3点）、引き分けは1試合で2点（両チームに1点ずつ）が配られます。全試合に勝敗がつけば 3×6＝18点で、引き分けが1試合増えるごとに合計は1点ずつ減ります。18−16＝2 なので、引き分けは2試合です。

練習2 5チームの総当たり戦（引き分けなし）で、3勝以上したチームは最大何チームありうるか。

答え 3チーム。勝ち数の合計は10なので、4チームが3勝すると合計12勝となり超えてしまいます。3チーム（X・Y・Z）なら、3チームどうしの3試合で1勝ずつ分け合い、残りの2チームにはすべて勝つと、3チームとも3勝1敗になり実現できます。

「最大何チーム」は、合計の上限から数を出し、実際にその数が実現できる組合せを1つ示す、の2段階で確かめます。上限を計算しただけでは、実現できるとは限りません。

つまずいた操作から確認する

1分で解くための時短のコツ

• 勝ち数（負け数）が端の値のチームから埋める：「1敗」「1勝」のように、1つ分かれば残りがすべて決まるチームを先に処理します。
• 勝ち数の合計を最初に書いておく：5チームなら「合計10」と表の下に書き、最後の空欄を引き算で埋めます。
• 選択肢のマスだけ確かめる：表を完成させなくても、選択肢に関係するマスが決まれば答えられます。

例題2なら、A・D・Cの順に3行を埋めた時点で、選択肢4の「C対D」のマスはすでに決まっています。残りの B対E を考える前に答えを選べるので、全体で1分を切ることも難しくありません。

次に練習すること

勝ち抜き戦の試合数と勝ち上がりはトーナメント戦の解き方、2チームの選び方の数え方は場合の数の基本と順列と組合せの使い分けで確認できます。表への書き込みに慣れていない場合は、対応表の解き方の○×の入れ方も参考になります。

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