順列と組合せの違い｜並べるか選ぶだけかで使い分け

順列と組合せは何が違う？

順列も組合せも、「n個の中から r個を選ぶ」場面で使う数え方です。違いは、選んだあとに順番や役割の区別があるかどうかだけです。

組合せが順列より小さくなるのは、順列では「AとB」の組を AB・BA の2回数えているからです。3人を選ぶなら同じ組を 3!＝6回ずつ数えているので、6で割ります。

迷ったら、選んだ2人を入れ替えてみます。入れ替えて別の結果になるなら順列、同じ結果なら組合せです。和の法則・積の法則の基本は場合の数の基本で確認できます。

使い分けを判断する手順

1. n と r を決める：何個（何人）の中から、何個選ぶのかを書き出す。
2. 入れ替えテストをする：選んだものを2つ入れ替えて、結果が変わるかを考える。変わるなら順列、変わらないなら組合せ。
3. 特別な並び方か確かめる：円形に並べる（円順列）、同じものを含む、同じものを何度も選べる（重複順列）場合は、それぞれの式を使う。
4. グループや条件があれば分けてかける：「男性から2人・女性から2人」は、それぞれを数えて積の法則でかける。

例題1：役割のある選び方（順列）

例題1 職員8人の中から、会議の司会・記録・発表の係を1人ずつ選ぶ。1人が2つ以上の係を兼ねることはない。選び方は何通りか。

1. 56通り　2. 336通り　3. 512通り　4. 6通り

解き方 係という役割があるので、選んだ3人を入れ替えると別の選び方になります。順列で 8P3＝8×7×6＝336通りです。

正解は2です。56×6＝336 となることからも分かるように、「3人を選ぶ（56通り）→ 3人に係を割り当てる（6通り）」とかけ算で考えても同じ答えになります。

例題2：グループごとに選ぶ（組合せ×組合せ）

例題2 男性5人と女性4人の中から、男性2人と女性2人の計4人の委員を選ぶ。委員に役割の区別はない。選び方は何通りか。

1. 60通り　2. 16通り　3. 126通り　4. 240通り

解き方 役割がないので組合せです。男性の選び方は 5C2＝10通り、女性の選び方は 4C2＝6通り。男性を選び、続けて女性を選ぶので積の法則で 10×6＝60通りです。

正解は1です。「男性2人・女性2人」のような条件があるときに、全体から一気に 9C4 で数えると、男性3人・女性1人のような組も混ざってしまいます。

例題3：円形に並ぶ（円順列）

例題3 6人が円形のテーブルに等間隔に座る。回転して同じになる座り方は同じものとみなすとき、座り方は何通りか。

1. 60通り　2. 720通り　3. 120通り　4. 360通り

解き方 1人を固定すると、回転による重複がなくなります。残り5人を5つの席に並べるので 5!＝120通りです。

正解は3です。1列の並べ方 6!＝720通りのうち、1席ずつ回転させた6通りが同じ座り方になるので、720÷6＝120 と考えても同じです。円卓で1人を固定する考え方は、位置関係の解き方の判断推理でも使います。

練習問題：どの公式を使うか選ぶ

次の3問は、使う公式がそれぞれ違います。解く前に「どの式か」を先に決めてから計算してみてください。

3問目は、「代表2人」は役割の区別がないので組合せ、「書記」は1人だけなので残り3人から3通りです。全員をまとめて 5P3＝60 とすると、代表2人の入れ替えを別に数えてしまい、ちょうど2倍になります。

このように、1つの問題の中に「区別あり」と「区別なし」が混ざることがあります。選ぶ段階ごとに入れ替えテストをして、段階ごとに式を決めるのが確実です。

つまずいた操作から確認する

1分で解くための時短のコツ

• nCr は「小さい方」で計算する：nCr＝nC(n−r) なので、10C8 は 10C2＝45 として計算できます。
• 約分してからかける：8C3＝(8×7×6)÷(3×2×1) は、6÷(3×2)＝1 を先に消して 8×7＝56 とすれば速い。
• 選択肢の数の関係を見る：例題1の56と336のように、選択肢の比が r! になっていれば、P と C の取り違えを狙った選択肢です。

次に練習すること

組合せを道順に応用するのが最短経路の数え方、確率の分母・分子に使うのが確率の基本です。足すかかけるかの判断に戻りたい場合は場合の数の基本を確認してください。

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