旅人算の公式と解き方｜出会いは和・追いつきは差

旅人算とは？何を求める問題？

旅人算は、2人（2台）が同時に、または時間差をつけて動くときに、出会う時刻・追いつく時刻・その地点を求める問題です。数的推理の速さの分野の代表的な型の1つで、中学受験の算数でもおなじみです。

1人ずつ別々に計算しようとすると、式が複雑になります。旅人算では、2人の動きを「2人の間の距離が縮む速さ」の1つにまとめて考えるのがポイントです。距離・速さ・時間の関係（はじき）に不安がある場合は、先に速さ・時間・距離の基本を確認してください。

出会いは和・追いつきは差になる理由

向かい合って進むと、Aが a、Bが b 進んだ分だけ、2人の間は1分で a＋b 縮みます。同じ向きなら、Aが a 進むあいだにBも b 進んで逃げるので、縮むのは a−b だけです。「1分で何m縮むか」を先に書くと、和と差の取り違えがなくなります。

旅人算を解く4ステップ

1. 単位をそろえる：分速と時速、mとkmが混ざっていたら、どちらかに統一する。
2. 型を決める：向かい合う（出会い）か、同じ向きで追う（追いつき）か。池の周りなら、回る向きを確認する。
3. 「縮む速さ」と「縮めるべき距離」を書く：出会いなら和と2人の間の距離、追いつきなら差と先に進んでいた距離。
4. 割り算で時間を出し、聞かれているものに直す：出会う地点を聞かれたら、時間×一方の速さで距離を出す。

例題1：向かい合って出会う時間

例題1 2.4km離れた2地点から、Aは分速70m、Bは分速50mで、向かい合って同時に歩き始めた。2人が出会うのは出発から何分後か。

1. 48分後　2. 20分後　3. 120分後　4. 40分後

解き方 単位をmにそろえると距離は2400m。向かい合って進むので、1分で縮む距離は 70＋50＝120m。2400÷120＝20分後です。

正解は2です。出会う地点は、Aが 70×20＝1400m、Bが 50×20＝1000m 進んだところで、合計がちょうど2400mになることでも確かめられます。

例題2：時間差で出発して追いつく

例題2 弟が家を出て分速60mで歩き始めた。その12分後に、兄が同じ道を分速150mの自転車で追いかけた。兄が弟に追いつくのは、兄が出発してから何分後か。

1. 20分後　2. 4.8分後　3. 8分後　4. 12分後

解き方 兄が出発するとき、弟はすでに 60×12＝720m 先にいます。同じ向きに進むので、1分で縮む距離は 150−60＝90m。720÷90＝8分後です。

正解は3です。検算：8分後に兄は 150×8＝1200m、弟は 60×(12＋8)＝1200m 進んでいて、同じ地点にいます。「何分後か」の基準が兄の出発か弟の出発かで答えが変わるので、問題文の基準を必ず確認します。

例題3：池の周りを回る

例題3 1周1800mの池の周りを、Aは分速80m、Bは分速70mで、同じ地点から同時に出発して回る。逆向きに回るときに2人が初めて出会うまでの時間と、同じ向きに回るときにAがBに初めて追いつくまでの時間の組合せとして正しいものはどれか。

1. 12分・180分　2. 180分・12分　3. 6分・90分　4. 12分・90分

解き方 逆向きなら、2人で合わせて1周分進んだときに出会うので、1800÷(80＋70)＝12分。同じ向きなら、AがBより1周分（1800m）多く進んだときに追いつくので、1800÷(80−70)＝180分です。

正解は1です。池の周りでは、同じ向きの追いつき＝1周分の差がつくとき、と覚えておきます。スタート地点が同じなら「最初の差の距離」は0ではなく1周分になる点が、直線の追いつき算との違いです。

練習問題：時間差と2回目の出会い

練習1 例題1と同じ2地点（2400m）で、Aが分速70mで先に出発し、その12分後にBが分速50mで向かい合って出発した。2人が出会うのは、Bが出発してから何分後か。

答え 13分後。Bが出発するとき、Aはすでに 70×12＝840m 進んでいるので、2人の間は 2400−840＝1560m。ここから向かい合って進むので、1560÷(70＋50)＝13分です。時間差がある出会い算は、後の人が出発した時点の距離に直してから和で割る、の2段階で解きます。

練習2 例題3の池で、2人が逆向きに回るとき、2回目に出会うのは出発から何分後か。

答え 24分後。1回目に出会ったあと、2人がもう一度合わせて1周分（1800m）進むと再び出会います。12分×2＝24分です。同じ向きで2回目に追いつくのも、同じく 180分×2＝360分後になります。

つまずいた操作から確認する

1分で解くための時短のコツ

• 「縮む速さ」をまず1行で書く：和か差かが決まれば、あとは割り算1回です。
• 選択肢で検算する：選んだ時間で2人の進んだ距離を出し、合計（出会い）や差（追いつき）が合うかを確かめると、10秒で確認できます。
• 2回目以降の出会いは同じ間隔：池の周りで2回目に出会うのは、1回目からさらに同じ時間がたったときです。

次に練習すること

距離・速さ・時間の関係や、往復の平均の速さのわなは速さ・時間・距離の基本で練習できます。仮定して差を割る考え方は鶴亀算・過不足算とも共通しています。確率の分野を先に固めたい場合は「少なくとも1回」の確率へ。

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